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Keywords: Euclid, Non-Euclidean geometry, Descartes, Gauss, Curved Space, Einstein, Geometry,

几何学的发展经历了漫长而艰难的历程,从欧几里德开始,几何学至今经历了五场革命,每一次革命都伴随着一个划时代的人物的出现。《几何学的故事》是一本介绍几何学发展的书。数学是一门工具,它可以应用到几乎任何一门学科。尤其是物理,每一次数学的革命常常导致物理学的革命。几何学作为数学的一个重要分支舍弃了物体的其它形式只保留了空间的关系,因此几何学是抽象的。这种抽象思维的起源却远远早于公元前3世纪。它萌芽于早期的土地丈量、房屋和谷仓的建造以及开河筑堤等水利工程,几何学的名称是从测地术来的。也就是说几何学在很早以前就有了应用。当然这只是最原始的应用,当时的人们甚至没有世界这个概念,更不用说庞大而复杂的宇宙了。即使在今天,宇宙仍然深奥莫测。然而我们对宇宙的认识也不是一点没有进步,经过100多代人的努力,人们从最初的天圆地方说走到今天对宇宙起源的研究。其中有多科学大师的汗水和智慧,这些巨匠们在为科学的进步做出艰苦的努力。

第一次革命:欧几里德

第一次革命与一个叫欧几里德的人息息相关,那时的几何学还没有公理化的体系,还没有形成一个系统。欧几里德的《几何原本》最重要的贡献就是革新了逻辑方法,对希腊人所了解的几何学知识进行条理化与系统化。欧几里德几何学的整个体系是从一个公理集合推导出来的,其中包括5条公理。欧几里德的公设也成为今后很长一段时间内科学家们争论的焦点,这些公设是否正确(如任何两点决定一条直线)?其中最需提及的是平行公设,它不如其它公设那样明显和直觉,使得后来的数学家们觉得应该把它当作定理来证明,也因此这条公设起到了抛砖引玉的效果。无论如何,在这之后,几何学渐渐开始作为一门相对独立的学科发展起来了,就像是打好了地基此后的一切发展就都属于几何学这座大厦。在欧几里德之前,还有两个重要的名字需要提及,他们的工作为《几何原本》的问世奠定了基础。一个是泰勒斯,另一个是毕达哥拉斯。泰勒斯朝几何学的系统化迈出了第一步,他原本是个商人,凭着对科学的热爱学习数学,而取得了这样的成就,可见科学研究,尤其是数学的研究归根结底是一种兴趣的驱使,一种对奥秘的好奇心。作为人类,我们很自然的会去寻找我们周围世界运行的秩序和原因,只是有的人能执着的去追寻,这些人往往就成为我们所说的巨匠。作为泰勒斯接班人的毕达哥拉斯丝毫没有逊色于他,我们都知道有一条毕达哥拉斯定理简直妙不可言。

第二次革命:笛卡尔

虽然几何学有了一定的发展,但人们对于空间这个几何学根本概念的理解其实还是模糊的,还没有找到方法具体描述空间的位置。这种状况一直持续到笛卡尔的出现。位置的革命伴随着制图学的发展。没有人知道,究竟是谁、在什么时候、由于什么原因导致了第一张地图的出现。现在想起来,人类相比广阔的大地来说确实是太渺小了,要确切形容自己身在何处真不是那么容易的事。笛卡尔的坐标系是这场位置的革命的开始。地图表示地球上的位置是靠经度和纬度两个坐标来描述的。由于当时西方的理性传统处于冰封期,制图业发展缓慢,那时的欧洲正值小冰河时期加上黑暗的教会统治,数学家们面临着严冬酷暑还有思想上的限制,教会需要学者理所当然的认为《圣经》是绝对正确的,即使它又时是那么明显的违反科学。就在这样的时期,仍然有一批学者为追求真理而孜孜不倦的努力着,他们有的最终被放逐有的遭到酷刑有的家破人亡。看来数学的魅力比它表面上看上去要深,没有经过探索专研,没有付出你当然无法体会地球的形状,行星的运动轨迹有多么美妙。坐标把数与几何联系在一起又创造出了另一个神奇的世界。看看笛卡尔对圆的如下定义:

一个圆是对于某个常数r满足: x^2+y^2=r^2的全部x与y。

现在看来是不是很普通没有什么大不了,可是回想在坐标发明前人们对圆的定义,你会发现这种用方程的定义方法是多么的简洁明确,其重要之处不仅仅在与简化了几个定义,更重要的是由于坐标的发现,开始有了方程这个数学最重要的语言,人们开始用代数的方法描绘几何。

第三次革命:高斯

空间中的平行线能相交吗?从这个问题开始几何学又开始了一次革命:弯曲空间的革命。这场革命牵扯出一个人的传奇故事:高斯。还在小学的时候,老师就给我们讲过那个著名的小高斯用等差出列的求和公式快速算出从1加到100的值的故事。一个数学天才的形象就此在我的心里萌生……《几何原本》的神圣不可侵犯的地位维持了2000年之久。一直以来欧几里德的平行公设是作为约定而不是作为定理存在的,当时几乎每一个数学家都有“公设是一条真理,并且是空间必须具备的性质”这一的朴素观念。到19世纪20年代,德国数学家高斯(Gauss)、俄国数学家罗巴切夫斯基(Lobachevsky)和匈牙利数学家鲍耶(Bowyer)几乎同时提出了非欧几里得几何学的思想。欧几里德的第五公设(Euclid Fifth Postulate)即平行公设虽然不成立,但它的价值却大于其它任何公设,无疑它已成为一只下金蛋的鸡。高斯当时是德国哥廷根大学教授,也是有国际声望的数学家。事实上,高斯在1792年就开始想证明第5公设,直到1804年以前还没有完全放弃希望。1816年前后,他已经获得了非欧几里得几何学的基本思想,确信存在一种与欧几里得几何学不同的几何学,甚至希望证实一下这种几何学的现实性。尽管高斯的确很早就在他的思想中形成了非欧几里得几何学的框架,但是他又非常害怕新的理论不能被人们所理解,而遭人嘲笑和攻击,所以他一辈子都没有公开发表过非欧几里得几何学的观点。不仅如此,甚至当别人已经提出这个问题,而且特别需要他支持的时候,他也从来没有站出来发表意见。高斯研究非欧几里得几何学的情况,都是在他去世后,从他与一些数学家的通信和遗稿中才被披露出来的。为非欧几里得几何学英勇抗争的是俄国数学家罗巴切夫斯基,罗巴切夫斯基被称为几何学上的哥白尼,他率先发表的非欧几里得几何学的论文,引起了教廷的反对,他的学说被宣布为邪说,有人匿名在杂志上漫骂、侮辱他,甚至宣称罗巴切夫斯基是神经病患者。这一切都是高斯早已预料到的,也是高斯所害怕的。高斯是理解罗巴切夫斯基理论的,但是他还是只在与朋友通信中表示对罗巴切夫斯基的钦佩,而从来不公开站出来支持。而罗巴切夫斯基坚持真理,从不屈服,英勇抗争,直至生命的最后一刻,在没有见到自己胜利时就去世了。非欧几里得几何学在19世纪数学中引入了新思想,但一时间并没有得到数学家的接受。到高斯的学生黎曼在哥廷根大学作的一次演讲,才引起人们对非欧几里得几何学的重视。推翻权威不是那么容易的事,几何学进步的背后是多少人的心血,在这一连串的故事里出现了好过熟悉的名字,这些大师们凭着满腔的热情和对科学的执着将自己毕生的精力奉献到科学研究中去,我不能不对这些科学巨匠们肃然起敬。我无权指责高斯在这件事上所表现出的怯懦,毕竟与社会抗争需要付出太大的代价。可我对罗巴切夫斯基确实怀着极高的敬意与感激。同时也更深刻的体会到今天数学所取得的成果经历了多少代人的积累,这就叫做站在巨人的肩膀上!今天的数学也需要现代数学家们艰苦的探索才能进步。

在高斯和罗巴切夫斯基发现双曲空间(Hyperbolic Space )这个非欧空间后20年,另一种非欧空间——椭圆空间也被发现了。几何学已经进入了弯曲空间的革命。

第四次革命:爱因斯坦

高斯和黎曼(Riemann)证明了空间可以弯曲,并且给出了描述弯曲空间所需要的数学方法。接下来的问题就是:是什么决定空间的形状。而后便有了伟大的爱因斯坦发起的这场革命,他提出了时空这个新名词,这次几何学革命标志了人类进入了物理学的新时代。第四和第五次革命我都没有看明白,单单知道了些重要人物的名字,还有爱因斯坦创建相对论的艰辛。这个公认的天才智力发育较晚,一直被当作笨孩子,甚至最终被退学。谁也没有想到这个笨孩子日后会成为最伟大物理学家。爱因斯坦取得如此大的成就并不完全因为他日后超凡的大脑,还由于他锲而不舍的精神以及自信与敢于和经典物理学斗争的勇气。爱因斯坦曾是瑞士一个专利局的三等职员,他的老板做梦也没有想到伟大的相对论就是在他眼皮底下被建立起来的。专利局的工作枯燥又乏味,一天工作8小时,在后来的几年里爱因斯坦把笔记本带到办公室偷偷地进行研究。当主管靠近时他就很快把他们塞到抽屉里。就是这样,爱因斯坦创造出了划时代的理论。这个飞速发展的互联网时代,缺的是这样的匠人精神

第五次革命:空间,时间,物质和能量

人们置身于一场新的革命之中。全世界的各所大学的科学家们认识到自然界中所有变化着的、神奇的力都可以通过几何学——一种新的不可思议的几何学来理解。这门新几何学中,空间和时间,物质和能量全都缠绕在一起,并与宇宙深刻的、基本的结构相关。

纵观几何学的整个发展史我感到每一次几何学上的进步都伴随着人类科学的发展。人类的智慧在不断的提向新的高度。我们面临的问题必将越来越棘手。专研数学需要足够的耐心和毅力,当然缺不了清晰的大脑。看完这本书后我感觉到了空间的美,变幻莫测,各种曲线,漂亮的弯曲,这就是几何学带来的乐趣,数学家们迷恋的不是数字曲线符号,而是这其中的奥妙,背后千丝万缕的联系,我们周围世界运行的规律。

参考文献:

  1. 作者:佚名 标题:《几何学》, http://www.shuxue123.com/Article_Print.asp?ArticleID=40
  2. 作者:佚名 标题:《几何学的一场变革》, http://www.91tech.cn/Article/MathsBase/200503/557.html
  3. [美]列昂纳多·姆洛迪诺夫 《几何学的故事》 沈以淡 王季华 沈佳(译)海口,海南出版社,2004年月第一版
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